La scoperta dei frattali, ovvero la scoperta della frontiera

Non racconterò né la storia né la matematica collegata. Racconterò solo quello che serve per capire l’oggetto della nostra ricerca. Per tutti gli approfondimenti ci sono dei fantastici link alla fine della pagina.

Citerò solo Benoit Mandelbrot padre dei frattali e scopritore dell’insieme che porta il suo nome. Siamo nel 1982 quando si comprende che utilizzando il computer per sviluppare graficamente la funzione di Mandelbrot si ottiene qualcosa che definire strabiliante è poco. Vi propongo in estrema sintesi (veramente estrema) il procedimento che porta a poter vedere un frattale sullo schermo del computer: è semplice!

IL PROCESSO. Si prende la formula (poi vedremo quale è) e, inserendo un valore di partenza (un punto dello schermo), si sviluppano i risultati. Si prende poi il risultato e lo si inserisce di nuovo nella formula al posto dei valori iniziali. Si prosegue così a reinserire ogni volta il risultato precedente nella formula (si opera un'iterazione) per migliaia di volte. Questo processo si ripete per tutti i punti dello schermo.

IL DISEGNO. L'iterazione di ogni valore di partenza (ogni punto) può condurre ad un valore fisso (...continuando ad iterare si ottiene sempre lo stesso risultato) oppure condurre ad infinito. Nel primo caso il programma colora il punto dello schermo di nero; nel secondo lo colora con un sfumatura di colore proporzionale al numero di iterazioni necessarie per verificare che l'iterazione di quel valore porta a infinito. Potremmo dire... proporzionale alla distanza dal confine.

Applicando questa funzione      z_n+1 = z_n²+c     a tutti i punti dello schermo (...facendo variare z_n) si ottiene l'insieme di Mandelbrot. Eccolo qua:

Ciò che si ottiene, con questa colorazione, è un'area di punti che appartengono all'insieme (quella nera) ed un'area di punti che non appartengono all'insieme.. se ne vanno, più meno velocemente, all'infinito.

In mezzo a questi due insiemi non c'è nulla....proprio NULLA! Ogni punto o è dentro o è fuori... non c'è un confine!!  Per quanto questa immagine possa essere ingrandita, scandagliata, sminuzzata... ogni punto che si incontrerà (sempre più piccolo)  sarà dentro o fuori... mai in mezzo.

Queste figure, poi, hanno altre proprietà molto curiose e piene di mistero.

 Seguimi e stupisci nel vedere che.. con quella semplice formula (semplice si fa per dire!) si dischiude uno strano magico mondo pieno di domande.

Se si applica la stessa formula ad un... piano di punti più piccolo si ottiene un ingrandimento della figura e quindi si può osservare sullo schermo solo una parte della figura stessa. Normalmente, se si immagina di ingrandire più e più volte il perimetro di una figura geometrica si arriva a vedere una semplice linea retta, persino con il perimetro di un cerchio: ad una retta si finisce, prima o poi.

Osservando, invece, l'ingrandimento del perimetro di un frattale (o meglio... dell'ipotetico punto d'incontro dei due insiemi) si vedono nuovi particolari della figura stessa, sempre più particolari. Più si ingrandisce e più si vedono particolari, più si ingrandisce più ci si perde in un mare di particolari... e più sfugge il senso di questa figura. Non si incontra mai la fine... solo i limiti di calcolo del computer costituiscono un argine all'infinita ricerca.

Questi particolari, poi, si ripetono, si ripetono all'infinito. A volte si ripetono perfettamente identici a volte sono simili ma diversi. Si dice che un frattale ha la proprietà dell'autosomiglianza, a qualsiasi livello d iingrandimento,

Per avere una prima esperienza di quanto ho detto esplora la figura che segue

Dopo molti anni di studio sui frattali sono stati trovati moltissimi campi di applicazione di questa matematica: biologia, metereologia, .......... Si è osservato inoltre, che moltissimi elementi della natura sono frattali (le foglie, gli alberi, le nuvole, ) se non, chissà, tutta la natura stessa. Nei link che seguono troverete materiale ben scritto su tutti questi argomenti citati.

Qui mi preme soffermarmi solo sulla "magica coincidenza" tra frattali e natura oltre che sulla "magica assenza" di un confine. Un infinito nulla circondato da infiniti punti che fuggono verso l'infinito. Questo lo puoi trovare in filosofia

Se volete veramente capire come funzionano
i frattali.... questo è il sito da visitare

Anche qui li potete imparare
http://www.geocities.com/leibowitz.geo/fract_it.html

PROGRAMMI - FREE
http://www.alfitalia.it/ita_page/materie_informatica_programmi.asp

 
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